$x$,$y$ $\geq$ và (x+y-1)²=xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của bt: $P$=$\frac{1}{xy}$ +$\frac{1}{x^2+y^2}$+ $\frac{\sqrt[]{xy}}{x+y}$ 

Ta có: ($x$+$y$-$1$)²=xy $\leq$ $\frac{(x+y)^2}{4}$ 

⇔(x+y)²$-$ 2.(x+y)+1 $\leq$ $\frac{(x+y)^2}{4}$ 

⇔$3$.(x+y)²-$8$.(x+y)+4 $\leq$ 0

⇔$\frac{2}{3}$ $\leq$ $x+y$ $\leq$ 2                                  1

⇒Điểm rơi: $x$=$y$=$1$

Sau khi chọn điểm rơi :

$P$= $($ $\frac{1}{x^2+y^2}$ + $\frac{1}{2xy}$ $)$ + $($ $\frac{\sqrt[]{xy}}{x+y}$ +$\frac{1}{2xy}$ $)$

Dùng hệ quả của BĐT Co-si: 

$\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$ $\geq$ $\frac{4}{a+b}$ →Tự chứng minh

Áp dụng BĐT Co-si:

$($ $\frac{\sqrt[]{xy}}{x+y}$ +$\frac{1}{2xy}$ $)$ $\geq$ $\frac{2}{\sqrt[]{2(x+y).\sqrt[]{xy}}}$ 

⇒$P$ $\geq$ $\frac{4}{(x+y)^2}$+  $\frac{2}{\sqrt[]{2(x+y).\sqrt[]{xy}}}$ 

Ta có:  $x$+$y$ $\geq$ 2.$\sqrt[]{xy}$            $LĐ$

        ⇔$($ $x$+$y$ $)$²$\geq$ 2.$\sqrt[]{xy}$.(x+y)

        ⇔$x$ + $y$ $\geq$  $\sqrt[]{2(x+y).\sqrt[]{xy}}$ 

        ⇔$\frac{2}{x+y}$ $\leq$ $\frac{2}{\sqrt[]{2(x+y).\sqrt[]{xy}}}$              2

Từ (1) và (2):

$⇒$ $P$ $\geq$ 2

Vậy Giá Trị Nhỏ Nhất Của P là 2

Dấu bằng xảy ra khi: x=y=1