Bài 1
b) Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC
Xét ΔADM và ΔCBN có:
AD=BC
góc DAM= góc BCN (2 góc so le trong)
góc DMA= góc BNC = 90 độ
=> ΔADM = ΔCBN (ch-gn)
=> DM=BN (1)
Có góc FMN= góc BNM= 90 độ
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> DM//BN (2)
Từ (1),(2) suy ra DNBM là hình bình hành
=> DN//BM
Có góc NDB= góc DBM (2 góc so le trong);
góc DBM= góc DCA ( 2 góc nt cũng chắn cung DM)
=> góc NDB= góc DCA (3)
Có góc NBD= góc BDM (2 góc so le trong);
góc BDM= góc BCM ( 2 góc nt cũng chắn cung BM);
góc BCM= góc DAC (2 góc so le trong)
=> ​góc NBD= góc DAC (4)
Từ (3);(4) suy ra
ΔADC ~ ΔBND(g-g)
=> AD/BN=DC/DN
=> AD.DN=BN.DC(đpcm)

Bài 2:
a) Xét (O) có: góc ACD= 90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn)
mà góc EFD=90 độ ( vì EF ⊥AD theo gt)
=> góc ECD+ góc EFD= 180 độ
Xét tứ giác CEFD có:
góc ECD+ góc EFD= 180 độ ( Chứng minh trên)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> Tứ giác CEFD nội tiếp (đpcm)

b) Chứng minh tương tự câu a, ta được tứ giác BEFA nội tiếp
Tứ giác CEFD nội tiếp
=> góc CED= góc CFD ( 2 góc nt cũng chắn cung CD)
mà góc CFD= góc AFM; góc CED= góc BEA (2 góc đối đỉnh)
=> góc AFM= góc BEA
Tứ giác BEFA nội tiếp
=> góc BEA= góc BFA ( 2 góc nt cũng chắn cung BA)
Suy ra góc AFM= góc BFA
=> FA là tia phân giác của góc BFM (đpcm)

Bài 2
c) Vì FA là tia phân giác trong của góc BFM
mà góc BFM kề bù với góc BFN
=> FA là tia phân giác ngoài của góc BFN
Mà FD là tia đối của tua FA
=> FD là tia phân giác ngoài của góc BFN
Lại có FE⊥FD ( theo gt)
=> FE là tia phân giác trong của góc BFN
Ta có:
+) FD là tia phân giác ngoài của góc BFN
=> DN/DB=FN/FB (1)
+)FE là tia phân giác trong của góc BFN
=> FN/FB=EN/EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra
DN/DB=EN/EB
<=> DN.EB=DB.EN(đpcm)