P = a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b)
P + 3 = 1 + a/(b + c) + 1 + b/(c + a) + 1 + c/(a + b)
P + 3 = (a + b + c)/(b + c) + (a + b + c)/(b + c) + (a + b + c)/(c + a)
P + 3 = (a + b + c)[1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b)] (*)

ad bđt cô si cho 3 số:
2(a + b + c) = (a + b) + (b + c) + (c + a) ≥ 3.³√(a + b)(b + c)(c + a)
1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b) ≥ 3.³√1/(a + b)(b + c)(c + a)

nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a + b + c)[1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b)] ≥ 9
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c
- - -
cách khác: P = a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b)
M = b/(b + c) + c/(c + a) + a/(a + b)
N = c/(b + c) + a/(c + a) + b/(a + b)

Thấy: M + N = 3
P + M = (a + b)/(b + c) + (b + c)/(c + a) + (c + a)/(a + b) ≥ 3 (cô si cho 3 số)
P + N = (a + c)/(b + c) + (b + a)/(c + a) + (c + b)/(a + b) ≥ 3 (cô si)

=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c