XétΔ MEA vàΔ MBF có :
góc EMA chung,
GÓC MEA=GÓC MBF ( AEFB nội tiếp)
=>ΔMEA ∽ ΔMBF (gg)
=>ME/MB=MA/MF
=>MA. MB = ME. MF
b) Δ MCA ∽ ΔMBC (gg)
=>MC/MB=MA/MC
=>MC2 = MA. MB
ΔMCO vuông tại C, CH đường cao : MC2 = MH. MO
Do đó : MA. MB = MH. MO
Suy ra :Δ MHA ∽ ΔMBO (cgc)
=>GÓC MHA=GÓC MBO
=>AHOB nội tiếp ( tứ giác có góc trong bằng góc đối ngoài)
c) GÓC MKF = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ΔMKF vuông tại K, KE đường cao : MK2 = ME. MF
ΔMCE ∽ ΔMFC (gg)
=>MC/MF=ME/MC
=> MC2 = ME. MF
Vậy : MK2 = MC2 MK = MC
Ta có : GÓC SCM=GÓCSKM=90
=> tứ giác SCMK nội tiếp đường tròn đường kính SM.
Mà : MK = MC nên
cung MK=cung MC=> MS⊥KC ( đường kính đi qua điểm chính giữa cung)
d) SM cắt CK tại J.ΔJSK vuông tại J có JT là đường trung tuyến TS = TJ
Ta có : MJ. MS = ME. MF ( = MC2) =>ΔMEJ ∽ ΔMSF (cgc)
=>GÓC MEJ=GÓC MSF
Suy ra: tứ giác EJSF nội tiếp.
Tương tự : SJAB nội tiếp
Nên SJ là dây chung của hai đường tròn (P) và (Q)=> PQ là đường trung trực của SJ
Vậy P, Q, T thẳng hàng.