Lấy N∈BCN∈BC sao cho NC=13BCNC=13BC
=> BM=MN=NC=BC3BM=MN=NC=BC3
Xét ΔABMΔABM và ΔACNΔACN, có:
AB=AC( cạnh trong tam giác đều)
Bˆ=CˆB^=C^(góc trong tam giác đều)
BM=NC(cmt)
Vậy: ΔABM=ΔACN(c−g−c)ΔABM=ΔACN(c−g−c)
=> AM=AN
=> BAMˆ=CANˆBAM^=CAN^
=> ΔAMNΔAMN cân tại A
Trên tia đối MA lấy H sao cho MA=MH
Xét ΔABMΔABM và ΔHMNΔHMN có:
AM=MH(theo điều giả sử trên)
AMBˆ=HMNˆAMB^=HMN^(đối đỉnh)
BM=MN( theo điều chứng minh trên)
Vậy: ΔABM=ΔHMNΔABM=ΔHMN(c-g-c)
=> AB=NH(cạnh tương ứng)
=> BAMˆ=MHNˆBAM^=MHN^(góc tương ứng)
Trong ΔABMΔABM có:
Bˆ=60oB^=60o và BAMˆ<60oBAM^<60o do: Aˆ=60oA^=60o
Nên: AMBˆ>90oAMB^>90o
=>AB lớn nhất tron tam giác ABC (theo quan hệ giữa góc và cạnh của tam giác)
=> HN lớn nhất trong tam giác HMN
=> HN>HM(1)