Nhận xét: Mỗi số dạng n=4x+3n=4x+3 sẽ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng đó.
Thật vậy, rõ ràng nn có ước cùng dạng với nó vì bản thân nn là ước của nn. Gọi pp là ước nhỏ nhất trong các ước như thế. Nếu pp là số nguyên tố thì nhận xét được chứng minh. Nếu pp là hợp số thì pp phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố lẻ (do pp lẻ). Các thừa số này không thể có cùng dạng 4m+14m+1 (vì khi đó theo câu a, pp sẽ có dạng 4m+14m+1). Vậy ít nhất một thừa số nguyên tố có dạng 4x+3
Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố có dạng 4x+34x+3 là p1,p2,...,pn
Xét số N=4 p1p2...pn−1 thì NN có dạng 4k+3. Theo nhận xét trên thì NN có ít nhất một ước nguyên tố dạng 4k+3 Nhưng từ cách xác định NN thì NN không thể chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4x+3 Điều mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử trên là sai. Vậy có vô số các số nguyên tố có dạng 4k+3