Xét 10000 số 2003; 20032; 20033;...; 200310000 chia cho 10 000 thì số dư có thể là 0;1;2;...; 9999
Vì (2003; 10000) = 1 nên 2003n chia cho 10 000 không có thể dư 0
Vậy có 10 000 số mà có 9999 số dư. Theo Nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số trong đó có cùng số dư
Gọi 2 số đó là 2003m và 2003n ( Giả sử m > n)
=> 2003m - 2003n chia hết cho 10 000
2003m - 2003n = 2003n .(2003m-n - 1) chia hết cho 10 000
Vì 2003n không chia hết cho 10 000 nên 2003m-n - 1 chia hết cho 10 000
=> 2003m - n có tận cùng là 0001
Đặt k = m - n ; k là số tự nhiên
Vậy tồn tại số tự nhiên k để 2003k có tận cùng 0001