Bài II. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Nhà máy luyện thép hiện đã có sẵn hai loại thép chứa 10% cacbon và loại thép chứa 20% cacbon. Giả sử quá trình luyện thép các nguyên liệu được dùng không bị hao hụt, hãy tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để tạo ra 1.000 tấn thép chứa 16% cacbon từ hai loại thép trên.
Bài III.
1) Cho hệ phương trình:
{mx + y = m + 1
{x + my = 2m
Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y). Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc tham số m.
2) Cho phương trình: x^2 - mx - 4 = 0.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2.
b) Chứng minh (x1^2 + x2^2) + 16(x1 + x2) + 56 ≥ 0 với mọi m.
Bài IV. Cho đường tròn (O; R) có dây BC < 2R cố định. Kẻ đường kính BM, điểm A bất kỳ trên tia CB (CA > CB). Gọi E là giao điểm AM với (O), gọi H là giao điểm của OA với (O') ngoại tiếp tam giác ABM. Gọi K là giao điểm của OA với CE.
1) Chứng minh tứ giác BKHC nội tiếp.
2) Chứng minh các tam giác AEK và AHM đồng dạng.
3) Chứng minh góc AO'M có độ lớn không phụ thuộc vị trí điểm A.
4) Xác định vị trí A để AO + 4HO có giá trị nhỏ nhất.