ⁿ - bⁿ = (a - b)*(...) => với a, b nguyên có aⁿ - bⁿ chia hết cho (a - b) ♦
------------
A = n^1997 + n^1975 + 1 = n² * [(n³)^665 - 1] + n * [(n³)^658 - 1] + (n² + n + 1)
(n³)^665 - 1, (n³)^658 - 1 chia hết cho (n³ - 1) = (n - 1)(n² + n + 1)
=> A chia hết cho (n² + n + 1)
Với n = 1 có A = 3 nguyên tố.
Với n > 1 => (n² + n + 1) > 1 => (n² + n + 1) có ít nhất 1 ước nguyên tố p, và dễ thấy A > n² + n + 1 ≥ p, vậy A có ước nguyên tố p nhỏ hơn nó nên A là hợp số

2.
Giả sử tồn tại x, y nguyên dương sao cho ax + by = ab
=> ax = b(a - y) => ax chia hết cho b. Do (a, b) = 1 => x chia hết cho b
=> x = b*k với k ≥ 1
=> a ≤ ak = a - y < a, vô lý
Vậy ax + by = ab không có nghiệm nguyên dương

3.
A = n^4 + n² + 1 = n^4 + 2n² + 1 - n² = (n² + 1)² - n² = (n² - n + 1)(n² + n + 1)
Với n = 0 có A = 1 không là số nguyên tố
Với n = 1 có A = 3 nguyên tố
Với n ≥ 2 => n² - n + 1 = n(n - 1) + 1 ≥ 2*1 + 1 = 3
=> A là tích của 2 số > 1 nên là hợp số

4.
a) (2^p -1,2^q -1) = 1 ♥
Giả sử p, q có ước nguyên tố chung n ≥ 2
=> p = m*n, q = k*n với m, k tự nhiên.
=> 2^p -1 = (2ⁿ)^m - 1 và 2^q -1 = (2ⁿ)^k - 1 đều chia hết cho (2ⁿ - 1) ≥ 2² - 1 = 3, mâu thuẫn với ♥
Vậy (p, q) = 1

b) (p, q) = 1
Giả sử 2^p - 1 và 2^q - 1 có chung ước nguyên tố k => k lẻ (ước của 2 số lẻ) => k ≥ 3.
Gọi n là số tự nhiên > 0 nhỏ nhất sao cho 2ⁿ - 1 chia hết cho k (n tồn tại vì ít nhất ta có n = min(p, q))
=> q ≥ n ≥ 1 => q = m*n + r, với m ≥ 1 và 0 ≤ r < n
Do 2^q - 1 = 2^r * [(2ⁿ)^m - 1] + (2^r - 1) chia hết cho k mà (2ⁿ)^m - 1 chia hết cho (2ⁿ - 1), tức chia hết cho k nên (2^r - 1) chia hết cho k. Do n là số tự nhiên > 0 nhỏ nhất sao cho 2ⁿ - 1 chia hết cho k nên r = 0, tức q chia hết cho n
Tương tự có p chia hết cho n, tức p và q có ước chung n. Do (p, q) = 1 => n = 1
=> 2ⁿ - 1 = 1 chia hết cho k ≥ 3, vô lý
Vậy 2^p - 1 và 2^q - 1 không có ước nguyên tố chung => (2^p - 1, 2^q - 1) = 1

5. tìm n thuộc N* sao cho a = 3^n + 63
???

6. A = 2^2n*[2^(2n+1) - 1] - 1 = 2*2^(4n) - 2^(2n) - 1 =
2[2^(4n) - 2*2^(2n) + 1] + 3[2^(2n) - 1] = 2[4ⁿ - 1]² + 3(4ⁿ - 1)
4ⁿ - 1 chia hết cho (4 - 1) = 3 (xem ♦) => 2(4ⁿ - 1)² và 3(4ⁿ - 1) đều chia hết cho 9
=> A chia hết cho 9