Bài 2: Cho x + y = 2, tính minA = x^3 + y^3 + 2xy.
-----------------------------------------------------------------------------
Ta có: A = x^3 + y^3 + 2xy 
= (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy 
= 2(x^2 - xy + y^2) + 2xy
= 2(x^2 - xy + y^2 + xy) 
= 2(x^2 + y^2) 
Đến đây ta chứng minh bất đẳng thức phụ: 2(x^2 + y^2) ≥ (x + y)^2 
Thật vậy, biến đổi bđt phụ trên ta có: 2x^2 + 2y^2 ≥ x^2 + y^2 + 2xy
<=> x^2 + y^2 - 2xy ≥ 0 <=> (x - y)^2 ≥ 0 (luôn đúng) 
=> A ≥ (x + y)^2 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Vậy GTNN của A là 4, xảy ra khi x = y = 1

Bài 5:
a) Ta có: A = x^2 + 4y^2 - 4x + 32y + 2078
= (x^2 - 4x + 4) + (4y^2 + 32y + 64) + 2010
= (x - 2)^2 + (2y + 8)^2 + 2010 ≥ 2010
Vậy GTNN của A là 10, xảy ra khi x = 2, y = -4
b) Ta có: B = 3x^2 + y^2 + 4x - y
= 3(x^2 + 4x/3 + 4/9) + (y^2 - y + 1/4) - 19/12
= 3(x + 2/3)^2 + (y - 1/2)^2 - 19/12 ≥ -19/12
Vậy GTNN của B là -19/12, xảy ra khi x = -2/3, y = 1/2

Bài 4: Cho x, y thuộc R thỏa mãn x + y + 4 = 0, tìm max A = 2(x^3 + y^3) + 3(x^2 + y^2) + 10xy.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vì x + y + 4 = 0 <=> x + y = -4
Ta có: A = 2(x^3 + y^3) + 3(x^2 + y^2) + 10xy
= 2(x + y)(x^2 - xy + y^2) + 3(x^2 + 2xy + y^2) - 6xy + 10xy
= 2.(-4).(x^2 - xy + y^2) + 3(x + y)^2 + 4xy
= -8(x^2 - xy + y^2) + 3.(-4)^2 + 4xy
= -8(x^2 + 2xy + y^2) + 24xy + 48 + 4xy
= 28xy - 8(x + y)^2 + 48
= 28xy - 8.(-4)^2 + 48
= 28xy - 128 + 48
= 28xy - 80
= 7.4xy - 80
Đến đây ta sử dụng bđt phụ: 4xy ≤ (x + y)^2
Thật vậy, biến đổi bđt phụ, ta được: 4xy ≤ x^2 + 2xy + y^2
<=> x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0 <=> (x - y)^2 ≥ 0 (luôn đúng)
Áp dụng bđt phụ, ta được:
A = 7.4xy - 80 ≤ 7.(x + y)^2 - 80 = 7.(-4)^2 - 80 = 112 - 80 = 32
Vậy GTLN của A là 32, xảy ra khi x = y = -2