Trả lời:
n6 - n4 + 2n3 + 2n2
= n2 . (n4 - n2 + 2n +2)
= n2 . [n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]
= n2 . [(n + 1)(n3 - n2 + 2)]
= n2 . (n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2. (n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với n ∈ N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2
=> n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có n^6 + 2n^5 - n^4 + 2n^2 (1)
= n^2(n^4 + 2n^3 - n^2 + 2)
Giả sử (1) là số chính phương thì n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 = a^2
Xét n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 - (n^2 + n)^2
=-2n^2 + 2 < 0 với mọi n > 1
Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 < (n^2 + n)^2 (2)
Xét n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 - (n^2 + n - 1)^2
= 2n + 1 > 0 với mọi n > 1
Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 > (n^2 + n - 1)^2 (3)
Từ (2) và (3) suy ra (n^2 + n - 1)^2 < n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 < (n^2 + n)^2
Do đó n^4 + 2n^3 - n^2 + 2 không thể là số chính phương