Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=9 và Mx0;y0;z0∈(S) sao cho A=x0+2y0+2z0 đạt giá trị nhó nhất. Khi đó x0+y0+z0 bằng

Ta có A=x0+2y0+2z0⇔x0+2y0+2z0−A=0 nên M∈(P):x+2y+2z−A=0 do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P).

Mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và bán kính R = 3

Tồn tại điểm M khi và chỉ khi d(I,(P))≤R⇔|6−A|3≤3⇔−3≤A≤15

Do đó, với M thuộc mặt cầu (S) thì A=x0+2y0+2z0≥−3

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của  với  hay M là hình chiếu của I lên (P). Suy ra Mx0;y0;z0 thỏa: x0+2y0+2z0+3=0x0=2+ty0=1+2tz0=1+2t⇔t=−1x0=1y0=−1z0=−1

⇒x0+y0+z0=−1