Cho hàm số y = x³ + 3x² - 2m + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [–30;30] sao cho max[1;3]|f(x)|+min[1;3]|f(x)|≥10. Số phần tử của S là

Xét hàm số y=f(x)=x3+3x2−2 m+1 trên đoạn [1;3].

Ta có: f'(x)=3x2+6x>0,∀x∈[1;3] Suy ra min[1;3]f(x)=f(1)=5−2 mmax[1;3]f(x)=f(3)=55−2 m

Trường hợp 1: (5−2 m)(55−2 m)>0⇔m<52 m>552

Khi đó max[1;3]|f(x)|+min[1;3]|f(x)|≥10⇔|5−2m|+|55−2 m|≥10 (1) .

Nếu m<52 ta có (1)⇔5−2 m+55−2 m≥10⇔m≤504⇒m∈{−30;−29;……..2}

Nếu m>552 ta có (1)⇔2 m−5+2 m−55≥10⇔m≥704⇒m∈{28;29;30}

Trường hợp 2: (5−2 m)(55−2 m)≤0⇔52≤m≤552 (*)

Khi đó min[1;3]|f(x)|=0 và max[1;3]|f(x)|+min[1;3]|f(x)|≥10⇔max[1;3]|f(x)|≥10  (2)

⇔|5−2m|≥|55−2m||5−2m|≥10|55−2m|≥|5−2m||55−2m|≥10⇔25−20m+4m2≥3025−220m+4m2m≥152m≤−523025−220m+4m2≥25−20m+4m2m≥652m≤452⇔m≥15m≥152m≤−52m≤15 m≥652 m≤452

⇔m≥15 m≤15⇔m∈ℝ⇒m∈{3;4;…;27}. Vậy có 61 số m thỏa yêu cầu bài toán.