Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2x−4y−2z=0 và điểm M(0;1;0). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất. Gọi Nx0;y0;z0 là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho ON=6. Tính y₀.

Mặt câu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính R=6. Bán kính đường tròn (C) r=R2−d2=6−d2 với d=d(I,(P)). Chu vi (C) nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất ⇔d lớn nhất. Ta có d≤IM⇒dmax=IM⇔(P) đi qua M và vuông góc IM

(P) đi qua M(0;1;0), và nhận IM→=(1;−1;−1) làm VTPT

⇒(P):x−(y−1)−z=0⇔x−y−z+1=0. Ta có tọa độ N thỏa hệ 

x2+y2+z2+2x−4y−2z=0x−y−z+1=0x2+y2+z2=6⇔2x−4y−2z=−6x−y−z+1=0x2+y2+z2=6⇔y=2x=y+z−1x2+y2+z2=6⇒y=2