Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a, ∠SAB=∠SCB=900, cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Phương pháp:

- Gọi I là trung điểm SB. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

- Xác định góc giữa SA và (ABC).

- Đặt SB = x (x > a) tính SA, SM, SH theo x.

- Tính SΔSBM=pp−SBp−BMp−SM với p là nửa chu vi tam giác SBM.

- Giải phương trình pp−SBp−BMp−SM=12SH.BM tìm x theo a và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

- Diện tích mặt cầu bán kính R là S=4πR2.

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của SB.

Vì ∠SAB=∠SCB=900 nên IA=IC=12SB=IS=IB⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi M là trung điểm của AC ta có ΔABC vuông cân tại B⇒BM⊥AC.

Lại có ΔSAB=ΔSCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒SA=SC.

⇒ΔSAC vuông tại S⇒SM⊥AC,

⇒AC⊥SMB.

Trong (SBM) kẻ SH⊥BM ta có: SH⊥BMSH⊥AC⇒SH⊥ABC.

⇒HA là hình chiếu vuông góc của SA lên ABC⇒∠SA;ABC=∠SA;HA=∠SAH=600,

Đặt SB = x (x > a) ta có SA=SB2−AB2=x2−a2.

Vì ΔABC vuông cân tại B có AB = a nên AC=a2,BM=a22.

⇒SM=SA2−AM2=x2−a2−a22=x2−3a22.

Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có p=SB+BM+SM2=x+a22+x2−3a222.

Xét tam giác vuông SAH ta có SH=SA.sin600=x2−a2.32

⇒SΔSBM=pp−SBp−BMp−SM=12SH.BM

⇒pp−SBp−BMp−SM=12.x2−a2.32.a22

⇔8pp−SBp−BMp−SM=6.x2−a2

⇔64pp−SBp−BMp−SM=6x2−a2

⇔x=a5

⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là R=12SB=a52.

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S=4πR2=4π.52a2=5πa2.

Chọn A.