Cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {2 - m} \right)y + 2\left( {m + 1} \right)z - 6\left( {m + 2} \right) = 0.\] Biết rằng khi m thay đổi, mặt cầu (S) luôn chứa một đường tròn cố định. Tọa độ tâm I của đường tròn đó là

Đáp án D

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cố định luôn thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {2 - m} \right)y + 2\left( {m + 1} \right)z - 6\left( {m + 2} \right) = 0\) với mọi m

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2y + 2{\rm{z}} - 12} \right) - m\left( {2{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} + 6} \right) = 0\) với mọi m

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2y + 2{\rm{z}} - 12 = 0\\2{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} + 6 = 0\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn cố định này là giao tuyến của mặt cầu

\(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2y + 2{\rm{z}} - 12 = 0\) có tâm \(E\left( {1; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} + y - 2{\rm{z}} + 6 = 0\).

Tâm I của đường tròn là hình chiếu của E trên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(EI:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow E = EI \cap \left( P \right) \Rightarrow I\left( { - 1; - 2;1} \right)\).