Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định, liên tục \[\left[ {0;1} \right]\] đồng thời thỏa mãn các điều kiện \[f'\left( 0 \right) = - 1\] và \[{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right)\]. Đặt \[T = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)\], hãy chọn khẳng định đúng?

Đáp án B

Ta có: \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right) \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right)}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}} = 1\)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: \(\int {\frac{{d\left[ {f'\left( x \right)} \right]}}{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}} = \int {d{\rm{x}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{f'\left( x \right)}} = x + C \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}\)

Do \(f'\left( 0 \right) = - 1 \Rightarrow C = 1\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{ - 1}}d{\rm{x}}} \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = - \ln 2\).