Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình x3−x2+x−m.fx≤0 nghiệm đúng với mọi x∈−2;52 ?

Đáp án A

Đặt gx=x3−x2+x−m  .

Từ đồ thị hàm số y=fx  ta có fx≥0,∀x∈−2;1fx<0,∀x∈1;52 .

Bất phương trình x3−x2+x−m.fx≤0  nghiệm đúng với mọi x∈−2;52 .

⇔gx≤0,∀x∈−2;1gx≥0,∀x∈1;52⇒limx→1+gx≥0; limx→1−gx≤0

Do hàm số y=gx liên tục trên ℝ  nên ta có:

limx→1+gx=limx→1−gx=g1⇔g1=0⇔m=1.

Thử lại, với m=1   ta có gx=x3−x2+x−m=x3−x2+x−1=x−1x2+1  thỏa mãn đề bài.