Trong không gian Oxyz với hệ trục tọa độ cho điểm A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2 . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng α.:x+y+z=0 và tiếp xúc với 3 đường thẳng AB,BC,CA?

Đáp án D

Gọi mặt cầu S  có tâm I  là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh AB,BC,CA .

dI,AB=dI,BC=dI,AC.

Gọi H  là hình chiếu của I  trên mặt phẳng ABC .

 M,P,C lần lượt là hình chiếu của H  trên AB,BC,CA .

Ta có: ΔIHM=ΔIHN=ΔIHP (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).

 ⇒HM=HN=HP⇒H là điểm thuộc mặt phẳng ABC  và cách đều 3 cạnh AB,BC,CA .

 ⇒H có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ΔABC .

Mà IH⊥ABC  nên tập hợp điểm  I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của  ΔABC và vuông góc với mặt phẳng ABC⇒  có 4 đường thẳng như thế.

Ta có A2;0;0,B0;2;0,C0;0;2⇒phương trình mặt phẳng ABC:x+y+z−2=0⇒ABC//α

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I  nêu trên và mặt phẳng α  .

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒  có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.