Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi A',B',C',D' lần lượt là điểm đối xứng của A,B,C,D qua các mặt phẳng BCD,ACD,ABD,ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A'B'C'D'.

Phương pháp giải: - Tứ diện A'B'C'D' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k=A'B'AB.

- Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD,ACD, gọi G=AM∩BN. Tính GA'GA=A'B'AB.

- Tính VA'B'C'D'VABCD=k3.

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V=a3212.

Giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy tứ diện A'B'C'D' đồng dạng với tứ diện ABCD theo tỉ số k=A'B'AB.

Gọi M,N lần lượt là trọng tâm tam giác BCD,ACD ta có AM⊥BCD,BN⊥ACD.

Gọi G=AM∩BN.

Ta có G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD nên AGAM=34⇒AGAA'=38⇒GA'GA=53.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: GA'GA=A'B'AB=53=k

⇒VA'B'C'D'VABCD=k3=12527.

Mà ABCD là tứ diện đều cạnh 1 nên VABCD=212.

Vậy VA'B'C'D'=12537.212=1252324.