Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=x+1x3−3x2−m có đúng một tiệm cận đứng.

Đáp án C

Xét phương trình x3−3x2−m=0⇔x3−3x2=m *         

Số nghiệm của *  là số giao điểm của đường thẳng y=m và đồ thị hàm số y=fx .

Xét hàm số fx=x3−3x2  có f'x=3x2−6x ,  f'x=0⇔x=0x=2

Bảng biến thiên của hàm fx

 Đồ thị của hàm số y=x+1x3−3x2−m  có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình *  phải thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

+) TH1: Phương trình *  có duy nhất nghiệm  x≠−1

Dựa vào BBT ta thấy phương trình *  có nghiệm duy nhất x≠−1  khi m<−4m>0 .

+) TH2: Phương trình *  có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=−1  và một nghiệm kép 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình *  có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x=−1  và một nghiệm kép khi m=−4 .

Kết hợp hai trường hợp ta có giá trị của tham số thỏa mãn đề bài là m>0m≤−4 .