Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S(5; 4; 6), A(-1; 4; 3), B(5; -2; 3). K là trung điểm của AC và H là trực tâm của tam giác SAB. Tính độ dài đoạn thẳng KH

Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Dễ thấy H∈SM (do tam giác SAB cân tại S mà  là trung điểm của đoạn AB.

Theo giả thiết suy ra SK⊥ABCD⇒SK⊥AB;SM⊥AB.

Như vậy AB⊥SMK nên AB⊥SH 1.

Mặt khác, có AK⊥BD;AK⊥SK nên AK⊥SBD⇒AK⊥SB.

Lại có AH⊥SB (do H là trực tâm của tam giác SAB) nên SB⊥AKH⇒SB⊥KH 2.

Từ (1) và (2) suy ra SAB⊥KH⇒KH⊥SM.

Khi đó, tam giác SKM có KH là đường cao. Mà tam giác SKM vuông tại K nên có:

                   1KH2=1SK2+1KM2⇒KH=SK.KMSK2+KM2

Ta có K là trung điểm của AC nên K(2; 1; 3) nên SK=2−52+1−42+3−62=33.

Vì ABCD là hình vuông có AC=5+12+−2−42+3−32=62 suy ra KM=AC22=6222=3.

Vậy KH=33.3332+32=332.

Chọn A.