Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(1 >a \ge b >0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(T = \log _a^2b + {\log _{ab}}{a^{36}}\)

Ta có \(T = \log _a^2b + {\log _{ab}}{a^{36}}\)

\( = \log _a^2b + 36.\frac{1}{{{{\log }_a}ab}}\)

\( = \log _a^2b + \frac\)

Đặt \(t = {\log _a}b\)

Vì \(0 < b \le a < 1\) nên \({\log _a}b \ge {\log _a}a \Rightarrow t \ge 1.\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {t^2} + \frac\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( t \right) = 2t - \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \({T_{\min }} = 16\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow b = {a^2}.\)

Đáp án C