Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1} = \frac{2} = \frac{z}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y + 2z - 3 = 0.\] Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Phương pháp giải:

Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[\left( P \right)\] và \[\Delta \], khi đó ta có \[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow .\overrightarrow } \right|}}{{\left| {\overrightarrow } \right|.\left| {\overrightarrow } \right|}}\], với \[\overrightarrow \] và \[\overrightarrow \] lần lượt là 1 vtpt của \[\left( P \right)\] và vtcp của Δ.

Giải chi tiết:

Mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x - y + 2z - 3 = 0\] có 1 vtpt là \[\overrightarrow = \left( {2; - 1;2} \right)\], đường thẳng \[\Delta :\frac{1} = \frac{2} = \frac{z}{{ - 2}}\] có 1 vtcp là \[\overrightarrow = \left( {1;2; - 2} \right)\].

Ta có: \[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow .\overrightarrow } \right|}}{{\left| {\overrightarrow } \right|.\left| {\overrightarrow } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\].

\[ \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt {65} }}{9}\].

Đáp án B