Cho hàm số \[y = m{x^3} + m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1\]. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R?

Phương pháp giải:

- Để hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] thì \[y' \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\]

- Xét 2 TH: \[m = 0\] và \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}} \right.\].

Giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có: \[y' = 3m{x^2} + 2mx - m - 1\].

Để hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] thì \[y' \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\].

\[ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2mx - m - 1 \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{ - 1 \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{\Delta ' = {m^2} + 3m\left( {m + 1} \right) \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{4{m^2} + 3m \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - \frac{3}{4} \le m \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{ - \frac{3}{4} \le m < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - \frac{3}{4} \le m \le 0\]

Đáp án D