Cho khối lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy là \[2a\] và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\] bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\].

Phương pháp giải:

- Xác định góc từ điểm \[A\] đến \[\left( {A'BC} \right)\].

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \[A'A\].

- Tính thể tích \[{V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}}\].

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AM}\\{BC \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'BC} \right)\].

Trong \[\left( {A'BC} \right)\] kẻ \[AH \bot A'M{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in A'M} \right)\] ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot BC}\\{AH \bot A'M}\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'BC} \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = a\].

Vì tam giác \[ABC\] đều cạnh \[2a\] nên \[AM = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \] và \[{S_{\Delta ABC}} = {\left( {2a} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \].

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[AA'M\] ta có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{2}{{3{a^2}}} \Rightarrow A'A = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]

Vậy \[{V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\].

Đáp án D