Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[xf'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = {e^{ - x}}\] với mọi \[x\]. Tính \[f'\left( 0 \right)\].

Phương pháp giải:

- Nhận thấy \[\left( {x + 1} \right){e^x} = {\left( {x{e^x}} \right)^\prime }\]. Sử dụng công thức \[{\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'\].

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm \[f\left( x \right)\].

- Tính \[f'\left( x \right)\] và tính \[f'\left( 0 \right)\].

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có

\[xf'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) = {e^{ - x}}\]\[ \Leftrightarrow x{e^x}f'\left( x \right) + \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right) = 1\]

Ta có \[{\left( {x{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\]

\[ \Rightarrow x{e^x}f'\left( x \right) + {\left( {x{e^x}} \right)^\prime }f\left( x \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow {\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]^\prime } = 1 \Leftrightarrow \int {{{\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]}^\prime }dx} = \int {dx} \Leftrightarrow x{e^x}f\left( x \right) = x + C\]

Thay \[x = 0\] ta có \[0 = 0 + C \Leftrightarrow C = 0\], do đó \[x{e^x}f\left( x \right) = x \Leftrightarrow x\left[ {{e^x}f\left( x \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x}}} = {e^{ - x}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = - {e^{ - x}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - {e^0} = - 1\]

Đáp án B