Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Oxyz,}}\) cho mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right):2{\rm{x}} + {\rm{y}} + 6{\rm{z}} - 1 = 0\) và hai điểm \({\rm{A}}\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng \({\rm{AB}}\) trên mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) có độ dài bao nhiêu?

Ta có \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} = \left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,1} \right) \Rightarrow {\rm{AB}} = \sqrt 6 \,;\)

\({\rm{d}}\left( {{\rm{A}}\,,\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 6 \cdot 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0 \Rightarrow {\rm{A}} \in \left( {\rm{P}} \right)\);

\({\rm{d}}\left( {B\,,\,\,\left( {\rm{P}} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 0 \cdot 1 + 6 \cdot 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {6^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {41} }}\).

Gọi \({\rm{H}}\) là hình chiếu của \({\rm{B}}\) xuống \(\left( {\rm{P}} \right)\).

Khi đó tam giác \({\rm{AHB}}\) vuông tại \({\rm{H}}\) và \({\rm{AH}}\) là hình chiếu của \({\rm{AB}}\) lên mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) nên

\({\rm{AH}} = \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{B}}^2} - {\rm{B}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {6 - \frac{3}} = \sqrt {\frac} \). Chọn B.