Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a\), đường thẳng \(AB'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ .\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow AM \bot BC.\)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng \( \Rightarrow BB' \bot (ABC) \Rightarrow BB' \bot AM.\)

Suy ra \(AM \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow \left( {AB',\,\,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {AB'M} = 30^\circ .\)

Tam giác \(AB'M\) vuông tại \(M\) có \(\sin \widehat {AB'M} = \frac{{AB'}} \Rightarrow AB' = a\sqrt 3 .\)

Tam giác \(AA'B'\) vuông tại \(A'\) có \(AA' = \sqrt {A{{B'}^2} - A'{{B'}^2}}  = a\sqrt 2 .\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AB' \cdot {S_{ABC}} = a\sqrt 2  \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}.\) Chọn D.