Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho tam giác \[ABC\] có đỉnh \[A\left( {2\,;\,\, - 3} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,B\left( {3\,;\,\, - 2} \right)\], diện tích bằng \(\frac{3}{2}\) và trọng tâm \[G\] nằm trên đường thẳng \(3x - y - 8 = 0\). Tìm hoành độ điểm \[C,\] biết \[C\] có hoành độ dương.

Ta có \[AB = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 \]

Gọi \[CH\] là đường cao hạ từ đỉnh \[C\] của tam giác \[ABC\]

\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{{2{S_{ABC}}}} = \frac}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = d\left( {C\,,\,\,AB} \right)\]

\[G \in \left( {2x - y - 8 = 0} \right) \Rightarrow G\left( {t\,;\,\,3t - 8} \right)\]

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac}{3}}\\{3t - 8 = \frac{{ - 3 - 2 + {y_C}}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3t - 5}\\{{y_C} = 9t - 19}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow C\left( {3t - 5\,;\,\,9t - 19} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {t > \frac{5}{3}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,\,1} \right)\) nên đường thẳng \[AB\] đi qua \[A\] và nhận \(\vec n = \left( {1\,;\,\, - 1} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình \(1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 5 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = \frac{{\left| {3t - 5 - 9t + 19 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 6t + 9} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 6t + 9 = 3}\\{ - 6t + 9 = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\left( {ktm} \right)}\\{t = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( {1\,;\,\, - 1} \right)\). Chọn A.