Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành. Gọi \[M\] là trung điểm \[SD,\] điểm \[N\] thuộc cạnh \[SA\] sao cho \[SN = 3AN.\] Đường thẳng \[MN\] cắt mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] tại \[P,\] đường thẳng \[PC\] cắt cạnh \[AB\] tại \[K.\] Tỉ số \(\frac\) bằng

Trong \[mp\left( {SAD} \right)\], gọi \(P = MN \cap AD\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in MN}\\{P \in AD \subset \left( {ABCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow P = MN \cap \left( {ABCD} \right)\)

Trong \[mp\left( {ABCD} \right)\] gọi \(K = PC \cap AB\). Khi đó điểm \[K\] là điểm cần dựng.

Từ \(SA = 3AN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {gt} \right)\) suy ra \(AN = \frac{1}{4}SA\).

Gọi \[E\] là trung điểm \[AD.\] Ta có \[ME\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\] nên \(ME\,{\rm{//}}\,SA,\) do đó \(AN\,{\rm{//}}\,ME\).

Áp dụng định lí Thalès, ta có : \(\frac = \frac = \frac{{\frac{1}{4}SA}}{{\frac{1}{2}SA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac = \frac{1}{3}\).

Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right),\] có \[AK\,{\rm{//}}\,CD\] nên ta có:

\(\frac = \frac = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac = \frac{1}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB = CD} \right) \Rightarrow \frac = \frac{1}{2}\). Chọn C.