Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) với \(AB = a,\,\,AA' = 2a,\,\,A'C = 3a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'C'\,,\,\,I\) là giao điểm của đường thẳng \(AM\) và \(A'C.\) Thể tích khối \(IABC\) theo \(a\) là

Ta có \(A'M\,{\rm{//}}\,AC \Rightarrow \frac{{A'M}} = \frac{{A'I}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{A'C}} = \frac{2}{3}.\)

Vì \[IA' \cap \left( {ABC} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {A'\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{A'C}} = \frac{2}{3}.\]

\[ \Rightarrow \frac{{{V_{I.ABC}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}}}}{{d\left( {A'\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\]\[ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \frac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}}\].

Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C\) vuông tại \(A\).

 \[ \Rightarrow AC = \sqrt {A'{C^2} - A{{A'}^2}}  = \sqrt {9{a^2} - 4{a^2}}  = a\sqrt 5 .\]

Xét tam giác vuông \[ABC\] có: \[BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\].

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot 2a = {a^2}\]\[ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = 2a \cdot {a^2} = 2{a^3}\].

Vậy \[{V_{I.ABC}} = \frac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{9} \cdot 2{a^3} = \frac{{4{a^3}}}{9}.\] Chọn D.