Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm \[A\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 6\,;\,\, - 2} \right)\]. Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn tích \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \) có giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow E\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)\) và \(AB = 6\sqrt 2 \).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)\)

\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA}  \cdot \overrightarrow {EB} \)

\( = M{E^2} + \overrightarrow {ME}  \cdot \vec 0 - \overrightarrow {EB}  \cdot \overrightarrow {EB}  = M{E^2} - \frac{1}{4}A{B^2}\)

Suy ra \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB} \) đạt GTNN khi \(ME\) đạt GTNN.

Lại có: \(ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE\)

\( \Rightarrow ME\) đạt GTNN khi \(M \equiv N\) với \(N = IE \cap \left( S \right)\).

Đường thẳng \(IE\) đi qua \(I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IE}  = \left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\, - 2} \right)\) hay \(\frac{1}{2}\overrightarrow {IE}  = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)\) làm VTCP nên \(IE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\).

Vì \(N = IE \cap \left( S \right)\) nên \({\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \frac{9}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \frac{9}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 1 =  - \frac{1}{2}}\\{t - 1 =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2}}\\{t =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{N\left( { - \frac{3}{2}\,;\,\,3\,;\,\,\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\).

Do đó \(M{E_{\min }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) khi \(M \equiv N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)\( \Rightarrow a + b + c =  - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1\).

Chọn B.