Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2+2⁢x-4⁢y-2⁢z+92=0 và hai điểm \(A(0;2;0)\) \(,B(2; - 6; - 2)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( S \right)\) thỏa mãn tích M⁢A→⁢ ⋅M⁢B→ có giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

Phương pháp giải:

- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\).

- Đánh giá GTNN của tích \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) đạt được dựa vào điểm \(E\).

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow E\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và \(AB = 6\sqrt 2 \).

Ta có: M⁢A→.M⁢B→⁢⁢ =(M⁢E→⁢ +E⁢A→)⁢(M⁢E→⁢ +E⁢B→)

=M⁢E2+M⁢E→.(E⁢A→⁢ +E⁢B→)+E⁢A→.E⁢B→

=M⁢E2+M⁢E→.0→-E⁢B→.E⁢B→⁢⁢ =M⁢E2-14⁢A⁢B2

Suy ra \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) đạt GTNN khi \(ME\) đạt GTNN.

Lại có: \(ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE\)

\( \Rightarrow ME\) đạt GTNN khi \(M \equiv N\) với \(N = IE \cap \left( S \right)\)

Đường thẳng \(IE\) đi qua \(I\left( { - 1;2;1} \right)\) và nhận I⁢E→⁢⁢ =(2;-4;-2) làm VTCP nên I⁢E:{x=-1+ty=2-2tz=1-t

\(N = IE \cap \left( S \right)\) nên \({\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \frac{9}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \frac{9}{2} = 0\)

⇔[t-1=-12t-1= -32⇔[t=12t=-12\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( { - \frac{1}{2};1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{N\left( { - \frac{3}{2};3;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

\(M{E_{\min }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) khi M≡N⁢(-12;1;12)⇒a+b+c=⁢ -12+1+12=1.