Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 8-3 năm 2024. Ông A đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvdt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là \[h\] và \[x.\]Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của \[h\] và \[x\] là

Ta có thể tích chiếc hộp: \(V = {x^2}h = 32\) (đvtt), với \(x,\,\,h > 0.\) Suy ra \(h = \frac{{{x^2}}}.\)

Phần mạ vàng của chiếc hộp: \(S = 2{x^2} + 8xh = 2{x^2} + 8x \cdot \frac{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{x}.\)

Cách 1. Ta có \(2{x^2} + \frac{x} = 2{x^2} + \frac{x} + \frac{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{x} \cdot \frac{x}}} = 96\) (BĐT AM – GM)

Đẳng thức xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{x}\) hay \(x = 4\), khi đó \(h = 2.\)

Cách 2. Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{x}\) với \(x > 0\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 4x - \frac{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}};\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,;\,\,f\left( 4 \right) = 96.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(x = 4\), khi đó \(h = 2.\) Chọn A.