Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}} + 2023{x^3}.\) Biết rằng tồn tại số thực \(m\) sao cho bất phương trình \(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {\left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x}} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Hỏi \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Ta có \(f\left( x \right)\) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {\left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) \ge f\left( { - \left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {4^x} - mx + 37m \ge - \left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x} \Leftrightarrow {4^x} + \left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x} - mx + 37m \ge 0(*)\)\(f\left( {{4^x} - mx + 37m} \right) + f\left( {\left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x}} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow (*)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Đặt \[f\left( x \right) = {4^x} + \left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x} - mx + 37m \Rightarrow f'\left( x \right) = {4^x}\ln 4 + \left( {x - m - 37} \right) \cdot {2^x}\ln 2 + {2^x} - m\].

Nhận xét: \(f\left( 5 \right) = 0\). Điều kiện cần: \(f'\left( 5 \right) = 0 \Leftrightarrow m = 32\).

Điều kiện đủ: \(f\left( x \right) = {4^x} + \left( {x - 69} \right) \cdot {2^x} - 32x + 1184 = \left( {{2^x} - 32} \right)\left( {{2^x} + x - 37} \right)\)

• Nếu \(x > 5\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} - 32 > 0}\\{{2^x} + x - 37 > 0}\end{array} \Rightarrow f\left( x \right) > 0} \right..\)

• Nếu \(x = 5\) thì \(f\left( 5 \right) = 0\).

• Nếu \(x < 5\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} - 32 < 0}\\{{2^x} + x - 37 < 0}\end{array} \Rightarrow f\left( x \right) > 0} \right..\)

Vậy với \(m = 32\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Chọn C.