Cho a,b,c là các số thực biết log2a+b+ca2+b2+c2−1=aa−2+bb−2+cc−2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3a+2b+ca+b+c

Đáp án C.

Ta có: log2a+b+ca2+b2+c2+1=aa−2+bb−2+cc−2

log2a+b+c+2a+b+c+1=log2a2+b2+c2+1+a2+b2+c2+1

log22a+2b+2c+2a+2b+2c=log2a2+b2+c2+1+a2+b2+c2+1*

Xét hàm ft=log2t+t  (với t>0  )

Ta có f't=1tln2+1>0,∀t∈0;+∞,  nên hàm số f(t) đồng biến trên 0;+∞ .

Nhận thấy: f2a+2b+2c=fa2+b2+c2+1 , nên 2a+2b+2c=a2+b2+c2+1  là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay a−12+b−12+c−12=2

Ta lại có, P=3a+2b+ca+b+c⇔P−3a−1+P−2b−1+P−1c−1=6−3P**

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

6−3P2=P−3a−1+P−2b−1+P−1c−12

≤2P−32+P−22+P−12⇔3P2−12P+8≤0⇔6−233≤P≤6+233

Vậy Pmax=6+233  khi a=3+13,b=13,c=1−33