Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \[A,\] \(AC = a,\,\,\widehat {ACB} = 60^\circ .\) Đường thẳng \(BC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ACC'} \right)\) góc \(30^\circ \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Xét tam giác vuông \(ABC\) ta có: \(AB = AC \cdot \tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)

\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3  \cdot a = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2}\].

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot AC}\\{AB \bot AA'}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'} \right)\)

\( \Rightarrow AC'\) là hình chiếu vuông góc của \(BC'\) lên \(\left( {ACC'} \right)\).

\( \Rightarrow \widehat {\left( {BC',\,\,\left( {ACC'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC',\,\,AC'} \right)} = \widehat {AC'B} = 30^\circ \).

Vì \(B \bot \left( {ACC'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow AC' = AB \cdot \cot 30^\circ  = a\sqrt 3  \cdot \sqrt 3  = 3a\)\( \Rightarrow CC' = A{C^2} - A{C^2} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}}  = 2a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2a\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2} = {a^3}\sqrt 6 \). Chọn B.