Trong không gian với hệ trục \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 9 = 0\). Tìm điểm \[I\] trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất.

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[A\left( {3\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\] và bán kính \(R = 10\).

\(I \in \left( S \right)\) sao cho \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) lớn nhất \( \Rightarrow I \in \) đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \[A\] và vuông góc với \(\left( P \right)\).

\(\left( d \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow {\vec u_{\left( d \right)}} = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\).

Phương trình tham số đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Vì \(I \in \left( d \right)\) nên \(I\left( {3 + 2t\,;\,\, - 2 - 2t\,;\,\,1 - t} \right)\).

Vì \(I \in \left( S \right)\) nên \({\left( {2t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2} + {\left( { - t} \right)^2} = 100 \Rightarrow 9{t^2} = 100 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{3}\).

• Với \(t = \frac{3} \Rightarrow I\left( {\frac{3}; - \frac{3}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) = 16\);

• Với \(t =  - \frac{3} \Rightarrow I\left( { - \frac{3};\frac{3};\frac{3}} \right) \Rightarrow d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) = 4\).

\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}; - \frac{3}; - \frac{7}{3}} \right)\) là điểm cần tìm. Chọn A.