Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4x2+32y+1=y+2x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

Ta có 4x2+32y+1=y+2x⇔4x3+3x=y+22y+1⇔8x3+6x=2y+42y+1

                                      ⇔2x3+32x=2y+12y+1+32y+1 .      (1)

Xét hàm ft=t3+3t  trên R  .

Ta có f't=3t2+3>0,∀t∈ℝ⇒  Hàm số ft=t3+3t  đồng biến trênR .

(1)⇔f2x=f2y+1⇔2x=2y+1⇔x=2y+12 .

Vậy P=y−22y+1=gy  với y∈0;+∞ .

Ta có g'y=1−22y+1=0⇔2y+1=2⇔y=32 .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có Pmin=min0;+∞gy=−52  khi .