Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=12f(2x)+32x3+12x2−12x+2021 trên đoạn −32;  12 bằng

Chọn A.

Ta có g'x=24f'2x+96x2+24x−12=122f'2x+8x2+2x−1

g'x=0⇔122f'2x+8x2+2x−1=0⇔2f'2x+8x2+2x−1=0*

Đặt t=2x,x∈−32;12⇒t∈−3;1.

Khi đó phương trình (*) trở thành phương trình sau:

2f't+2t2+t−1=0⇔f't=−t2−12t+12**

Ta có đồ thị như sau:

f't=0⇔t=−3t=−1t=1⇔x=−32x=−12x=12

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số g(x) đạt tại x=−12⇒g−12=12f−1+2026.