Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng 30o. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S.ABH đạt giá trị lớn nhất bằng

Đáp án D

SΔADM=12AD.DM=12aa−xSΔABM=SABCD−SΔAMC−SΔADM=a22

Ta có: SΔABM=12AH.BM⇒AH=a2a2+x2, BH=AB2−AH2=axa2+x2

Thể tích của khối chóp S. ABH   là:  V=13SA.SΔABH=13SA.12BH.AH

=16a2.a2a2+x2.axa2+x2=26a4.xa2+x2

Xét hàm số fx=xa2+x2  với x∈[0;a]

Ta có f'x=a2−x2a2+x22;f'x=0⇒x=a

Trên đoạn 0;a  ta có f'x≥0,∀x∈[0;a]

Vậy giá trị lớn nhất của V tại x=a⇒Vmax=212a3.

Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm Vmax, thật vậy ta có: V=26a4.xa2+x2≤26a4.12a=2a312.