Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] thỏa mãn: \[f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x + 1\] , \[\forall x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\]. Khi đó \[I = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} \] bằng:

+ Ta có: \[f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x + 1\]\[ \Rightarrow \cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \cos x.\sin x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 6\sin x.\cos x + \cos x\]

\[ \Leftrightarrow \cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \frac{1}{2}\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = 3\sin 2x + \cos {x^{}}(*)\]

+ Lấy tích phân từ \[ - \frac{\pi }{2}\] đến \[0\] hai vế của \((*)\) ta được:

\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right)dx} - \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {f\left( {1 + 4\sin x} \right)d(1 + 4\sin x)} - \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)d(3 - 2\cos 2x)} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( t \right)dt} - \frac{1}{8}\int\limits_5^1 {f\left( t \right)dt} = - 2\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( t \right)dt} + \frac{1}{8}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = - 2_{}^{}(1)\]

+ Lấy tích phân từ \[0\] đến \[\frac{\pi }{2}\] hai vế của \((*)\) ta được:

\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right)dx} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin 2x + \cos x)dx} \]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 + 4\sin x} \right)d(1 + 4\sin x)} - \frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)d(3 - 2\cos 2x)} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{4}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} - \frac{1}{8}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 32{}_{}^{}(2)\]

Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \[\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} = - 24\]

Chọn đáp án B