Trong mặt phẳng cho 40 điểm tạo thành đa giác đều. Lấy ngẫu nhiên 4 điểm, tính xác suất sao cho 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật mà không phải là hình vuông.

Chọn đáp án C

Lấy 4 điểm bất kì từ 40 điểm nên số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^4\).

Ta có 40 điểm đã cho tạo thành đa giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đánh số các điểm này theo thứ tự từ 1 đến 40, 40 điểm này tạo nên 20 đường kính của đường tròn (O). Mỗi hình chữ nhật được tạo nên bởi 2 đường chéo là 2 đường kính nên số hình chữ nhật (kể cả hình vuông) được tạo nên từ 4 đỉnh của đa giác đều là \(C_{20}^2\).

Ta tính số hình vuông: Mỗi hình vuông được tạo nên bởi 2 đường kính vuông góc. Với mỗi đường kính tồn tại duy nhất một đường kính vuông góc với nó. Vậy có 20 hình vuông, nhưng mỗi hình vuông bị lặp lại 2 lần nên có 20:2=10 (hình vuông).

Vậy số hình chữ nhật mà không là hình vuông là \(C_{20}^2 - 10\).

Xác suất cần tìm là \(P = \frac{{C_{20}^2 - 10}}{{C_{40}^4}} = \frac\).

Chú ý: Có thể đếm số hình vuông theo cách 2 như sau: Chọn đáp ánđỉnh đầu tiên của hình vuông - có 40 cách Chọn đáp án; với mỗi cách Chọn đáp ánmột đỉnh thì luôn có một cách Chọn đáp ánduy nhất 3 đỉnh còn lại để tạo thành hình vuông (2 đỉnh liên tiếp của hình vuông hơn kém nhau 10 đơn vị, ví dụ ta Chọn đáp ánđỉnh đầu tiên là đỉnh số 1 thì 3 đỉnh còn lại là các đỉnh số 11, 21,31). Như vậy Chọn đáp ánđược 40 hình vuông, tuy nhiên mỗi hình vuông đã được tính lặp 4 lần nên số hình vuông thực tế là \(40:4 = 10\)(hình vuông).