Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A7;2;3, B1;4;3, C(1;2;6),D1;2;3 và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức P=MA+MB+MC+3MD đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án C

Giả sử Mx+1;y+2;z+3.

Ta có MA=x−62+y2+z2≥x−6≥6−x.

MB=x2+y−22+z2≥y−2≥2−y

MC=x2+y2+z−32≥z−3≥3−z

3MD=x2+y2+z2≥x+y+z2≥x+y+z

Do đó  P=MA+MB+MC+3MD≥6−x+2−y+3−z+x+y+z=11

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi và chỉ khi  x−62+y2+z2=6−xx2+y−22+z2=2−yx2+y2+z−32=3−z3x2+y2+z2=z+y+z

   ⇔6−x≥02−y≥03−z≥0x+y+z≥0x=y=z=0⇔x=y=z=0⇒M1;2;3 khi đó  OM=14