Trong tất cả các cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 6} \right) \ge 1\). Tìm \(m\) để tồn tại duy nhất một cặp \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\).

Ta có: \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {2x - 4y + 6} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x - 4y + 6 \ge {x^2} + {y^2} + 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \le 9\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\left( 1 \right)\), khi đó tập hợp điểm \(M\) là hình tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \({R_1} = 3\)

Ta có: \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = m\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nếu \(m < 0\) suy ra \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm, do đó \(m < 0\) không thỏa mãn.

Nếu \(m = 0\) suy ra \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\).

Nếu \(m >0\) khi đó \(\left( 2 \right)\) là đường tròn \(\left( \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 1;1} \right)\) và bán kính \({R_2} = \sqrt m \)

Ta có \({I_1}{I_2} = \sqrt {13} >{R_1} \Rightarrow {I_2}\) nằm ngoài đường tròn \(\left( \right)\). Vậy để tồn tại duy nhất một cặp \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi \(\left( \right)\) và \(\left( \right)\) tiếp xúc ngoài hoặc \(\left( \right)\) và \(\left( \right)\) tiếp xúc trong.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\\{I_1}{I_2} = {R_2} - {R_1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {13} = 3 + \sqrt m \\\sqrt {13} = \sqrt m - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = {\left( {\sqrt {13} - 3} \right)^2}\\m = {\left( {\sqrt {13} + 3} \right)^2}\end{array} \right.\)

Chọn đáp án D