Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| - {\log _2}m = 0\) có 8 nghiệm phân biệt?

Lời giải

Ta có \(\left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| - {\log _2}m = 0 \Leftrightarrow \left| {f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)} \right| = {\log _2}m{\rm{ }}(*)\)

Đặt \(u = {x^3} - 3{x^2}\) có \(u' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2\)

Ta lập bảng biến thiên ghép cho hàm số \(f(u)\)

Dựa bào bảng biến thiên, phương trình \((*)\) có \(8\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(1 < {\log _2}m < 6\) \( \Leftrightarrow 2 < m < 64\).

Vậy có \(61\) giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn đáp án D