Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \(3 + \left( {1 - {2^{\left| {x - 4} \right|}}} \right){.2^{\left| {y - 3} \right|}} = \left( {1 - {2^{ - \left| {y - 3} \right|}}} \right){.2^{2 - \left| {x - 4} \right|}}\) . Gọi \(M,\,\,m\) là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 12\). Giá trị \(M.m\) bằng

Lời giải

Đặt \({2^{\left| {x - 4} \right|}} = a,\,\,{2^{\left| {y - 3} \right|}} = b\,\,\,\left( {a \ge 1,\,\,b \ge 1} \right)\). Khi đó :

\(3 + \left( {1 - {2^{\left| {x - 4} \right|}}} \right){.2^{\left| {y - 3} \right|}} = \left( {1 - {2^{ - \left| {y - 3} \right|}}} \right){.2^{2 - \left| {x - 4} \right|}} \Leftrightarrow 3 + \left( {1 - a} \right)b = \left( {1 - \frac{1}{b}} \right)\frac{4}{a}\)

\( \Leftrightarrow 3ab + a{b^2} - {a^2}{b^2} = 4b - 4 \Leftrightarrow \left( {{a^2}{b^2} - 3ab - 4} \right) - \left( {a{b^2} - 4b} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {ab - 4} \right)\left( {ab - b + 1} \right) = 0\].

Do \(ab - b + 1 = a\left( {b - 1} \right) + 1 >0 \Rightarrow ab = 4 \Rightarrow \left| {x - 4} \right| + \left| {y - 3} \right| = 2\)

Xét trong hệ trục tọa độ \[Oxy\], gọi \(M\left( {x\,;y} \right),\,\,I\left( { - 3;1} \right)\).

Khi đó \(P = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 2 = M{I^2} + 2\) và \(M\) di động trên 4 cạnh hình vuông \(ABCD,\) trong đó \(A\left( {2\,;3} \right),\,\,B\left( {4\,;1} \right),\,\,C\left( {6\,;3} \right),\,\,D\left( {4\,;5} \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}M{I_{\min }} = IA = \sqrt {29} \\M{I_{\max }} = IC = \sqrt {85} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = {P_{\min }} = 31\\M = {P_{\max }} = 87\end{array} \right. \Rightarrow M.m = 2697\).

Chọn đáp án B