Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi \(N\) là trung điểm của \(B'C'\), \(P\) đối xứng với \(B\) qua \(B'\). Khi đó mặt phẳng \(\left( {PAC} \right)\) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích phần lớn và phần bé.

Lời giải

Gọi

\(M\) là trung điểm của \(A'B'\). Mặt phẳng \(\left( {PAC} \right)\) chia khối hộp chữ nhật thành hai phần như hình vẽ. Gọi thể tích khối hộp chữ nhật ban đầu là \(V\), phần chứa điểm \(B'\) có thể tích \({V_1}\) và phần còn lại có thể tích \({V_2}\).

Ta có \(\frac{{PB'}} = \frac = \frac = \frac{{MB'}} = \frac{1}{2}\).

Thể tích của khối chóp \(P.ACB\) là \({V_{P.ACB}} = \frac{1}{3}PB.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2.BB'.\frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{3}V\).

Ta lại có \(\frac{{{V_{P.MNB'}}}}{{{V_{P.ACB}}}} = \frac{{PB'}}.\frac.\frac = \frac{1}{8}\).

Do đó \({V_1} = {V_{P.ACB}} - {V_{P.MNB'}} = \left( {1 - \frac{1}{8}} \right){V_{P.ACB}} = \frac{7}{8}.\frac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{7}V\).

Vậy \[\frac{}{} = \frac{}} = \frac{{24\left( {V - \frac{7}V} \right)}} = \frac{7}\].