Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; -3). Xét mặt phẳng (P) thay đổi cách điểm B(4; 0; -1) một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất, (P) đi qua điểm nào dưới đây?

Chọn A.

Ta có AB→4;−4;2⇒AB=42+−42+22=6.

Trường hợp 1: Hai điểm A, B nằm cùng phía so với (P) có hai hình vẽ biểu diễn là hình 1 và hình 2.

Từ hình vẽ 1 ta có dA,P=AK,dB;P=BH=3.

AK=AI+IK≤AB+BH=6+3=9 (do IK=BH,AI≤AB).

Suy ra AK lớn nhất bằng 9 khi AI = AB điều này xảy ra khi A, B, H thẳng hàng và H = K.

Vậy d(A, (P)) lớn nhất bằng 9 và (P) nhận AB→4;−4;2 làm véc tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (P) nhận n→2;−2;1 là véc tơ pháp tuyến có phương trình dạng 2x−2y+z+D=0.

dA,P=9⇔D−113=9⇔D=38D=−16.

Vậy (P) có phương trình 2x−2y+z+38=0 và 2x−2y+z−16=0.

Đối chiếu các phương án ta thấy có phương án A thỏa mãn.

Từ hình vẽ ta có dA,P=AH=EH

Trường hợp 2: Hai điểm A, B nằm khác phía so với (P).

Từ hình vẽ 3 ta có dA,P=AK

Vậy đáp án là phương án A.